11月16日，应刘坚教授的邀请，江子校长在珠海教育创新成果公益博览会上分享了贞元K-12数学教育发生学实施路径。贞元师生正在共同创建新教育K-12未来学习中心，将我校团队研发并有效实施的新教育K-12数学课程系统全部以视频方式上线，希望让所有喜欢贞元新教育的孩子都可以随时随地在云端免费学习；让所有喜欢贞元新教育的老师都可以随时随地在云端找到免费资源；向世界“开源”，召唤志同道合者一起参与创造，以优质教育改良世界！

本文主要结合以下三个问题展开论述：

一、AI时代，基础数学教育何去何从？

二、“玩游戏 · 学数学”的特点：从“动作游戏”到“思维游戏”；

三、“玩游戏.学数学”的本质：K-12数学教育发生学。

（一）
AI时代，基础数学教育何去何从？

2025年7月，Gemini Deep Think（谷歌通用模型AI），在极限4.5小时之内，成功破解国际数学奥赛前5题，斩获35分（满分42分），达到了IMO金牌标准！
这一事件不仅是技术突破，让我们欢呼雀跃，更像一记警钟，让教育者重新审视基础数学教育的方向，我们不得不面对一个事实：“会做题”变得越来越不重要了！然而，什么才是真正重要的？基础数学教育改革，路在何方？
AI时代的教育，是该扬长？还是该补短？
和AI相比，人有何优势？
“人”的优势（之一）——创造力。人可以基于认知边界，自我驱动，提出新问题，在不确定的未知领域中持续探索、创造与发明。在知识中心的教育观下，我们认为儿童不可能具有“创造力”，但是，以“儿童中心”的视角观之，儿童总是可以：
(1)立足于自己的认知边界；
(2)以兴趣驱动，不断提出新问题；
(3)独立探索+课堂对话，建构生成新观念！
这就意味着：儿童可以像数学家一样创造数学、发明数学。那么，“儿童式的创造发明”何以可能？我们团队长期深耕于此，致力于研发并实施 “玩游戏・学数学”的K-12数学教育体系，其宗旨就是为了引导每一个儿童“像数学家一样创造数学、发明数学”。
（二）
“玩游戏.学数学”的特点：
从“动作游戏”到“思维游戏”

从低段依托动手操作的具象化数学游戏，到高段聚焦思维运转的抽象化数学游戏。
何谓“动作游戏”？
拿人教版一上《认识数字》单元举例说明，教学活动设计以 “玩” 为核心，按浪漫 – 精确 – 综合三阶段展开：
浪漫阶段：通过 “数字甲骨文故事、彩泥创作甲骨文数字、圆盘数字图形创作、音乐节奏感受数字” 等活动，激发学生对数字的兴趣，建立数字的感性认知。
精确阶段：借助 “棋子拆分、数据线上跳格子” 等游戏，让学生精准掌握数字的基数含义与序数含义。
综合阶段：通过 “创作数字树、编故事玩转混合运算”，提升学生对数字的综合运用能力，实现从认知到应用的进阶。
1.在讲述甲骨文故事、彩泥捏塑——创造数字，感受每一个数字符号的“生命”。

2. 在数字圆盘上创造数字图形，体验数字与图形之间的隐秘联系。

2. 在音乐节奏中与数字跳舞，体验数字与节奏的隐秘联系。

游戏A：
（1）围成一个圆圈顺时针绕行，聆听大家的脚步声，慢慢踩出相同的节奏；
（2）根据老师给出的快、慢手势，走出快慢节奏；
（3）根据老师给出的轻重手势，走出轻重节奏，尝试用脚尖和脚后跟走路；前面的游戏，都可以伴随着计数，而且，每数10个数就要求停顿一下；开始从小往大数，然后可以从100开始往小数；
游戏B：围成一圈顺时针绕行，左脚重、右脚轻；然后变换，体会两种不同的旋律。
4.在跳格子游戏中感受数字与数字之间的连续变化关系。

通过 “前走、计数、后退” 的动作游戏，让儿童在实际操作中理解序数、基数的增减变化。
之后，可以让儿童在数轴上跳格子，“1 个 1 个跳”、“2 个 2 个跳”、“3 个 3 个跳”、“4 个 4 个跳” 等多种形式的跳法帮助学生理解数字规律。

还可以在数轴上接力跳，如：怎样才能跳到10？儿童可以将跳到 10 的过程拆分为两次跳跃（如 6+4、3+7、5+5、2+8 等）。

5.在创作中体会基数与序数的关系。

6.棋子拆分游戏：把10颗棋子分成两堆，可以怎样分？

之后儿童可以把操作过程变成“作品”——用“数字树”“烟花图”记录拆分过程，并用算式表示自己的操作过程；

这个过程儿童可以自主发现“10=1+9”“10=2+8”等组合。

以及其他数的拆分，如1+2+3=6、 6=1+2+3、 6-1-2=3、6-2=1+3 ……儿童在这样的操作过程中理解加减法的本质——这比机械背诵“3+7=10”更有趣。
7.数据线上表示加与减法——在数形结合中理解加减运算。

8.在计数器上操作加法与减法

9.用集合图与故事创编，呈现混合运算的过程

结合故事情境和集合图，理解4+6+3=？的本身含义，以及不同运算顺序的合理性。在后续的评估反馈（考试题）中：可以加入拆分游戏—烟花图。

结合集合图，用多种方式解决混合运算，如3+4-2=？的问题。

拆分游戏（数形结合）—数字盘

儿童在动作游戏中可以体验到——
每一个数字符号都是“有生命的”，而不是只能机械抄写的“小魔怪”；

每一个运算符号都是对动作经验的抽象与命名(+、-）；

每一个游戏都是开放的：关注10=？+？，而不是3+7=10；

在游戏中理解算理：数字与数字、数字与运算、运算与运算之间的关系在儿童的脑海中如其所是地生长，而不是在口算题卡中成为僵化的“死知识”；

“我能行、我愿意、我喜欢”，而不是“我很笨、我逃避、我讨厌”！

“玩游戏.学数学”在起点处的追求 ——

一个显而易见的问题是：由定义、公理等构成的基本事实所具有的自明性，是相对谁而言的？很多时候，也许仅仅对于成人而言具有某种程度上的自明性，对于儿童而言却并非如此，怎么办？引导儿童进入动作游戏，动作游戏的价值在于：
(1) 具身认知：动作经验构成丰富的认知背景；
(2) 直观能力：在动作游戏中直观，而不是眼和脑；
(3) 权能（或主动性）：不是被动给予或灌输，而是在动作游戏中，总是可以“看”到更多。
这样的游戏活动不仅体现了儿童视角下的“自明性”，而且，它也是人之为人的理性发展的源头和起点。
从学前——小低——小中——小高——初中——高中……数学游戏需要从动作游戏转向思维游戏，何以可能？
例如：人教版五上《多边形的面积》建构历程：

在学多边形面积之前，儿童在已有观念（经验）有一维的长度观念、二维的长方形和正方形的周长和面积观念、角的度量观念、常见平面图形的基本认知以及度量思想，在此基础上，建构生成多边形的面积观念，并对未来学习圆、圆柱和圆锥、长方形和正方体观念保持开放。
我们该如何引导儿童“玩游戏.学面积”呢？
首先是，课前挑战单（章前评估）——
1.如何求一个长方形、正方形的面积？
2.怎样将一个长方形分割成两个三角形？正方形呢？
3.任意一个非直角三角形总是可以分割成两个直角三角形吗？这种分割变换，对于解决平面图形的面积问题有何帮助？
4.任意一个平行四边形总是分割成两个三角形吗？这种分割变换，对于解决平面图形的面积问题有何帮助？
5.可以通过怎样的分割，求一个梯形的面积呢？
6.所有这些不同的面积公式之间有何联系？
这些问题的特点如下：
（1）不是课本中已有的例题或习题；
（2）儿童不能从任何地方找到“标准答案”，而只能基于自身已有经验独立探索；
（3）思维支架，而不是常见的“典型考题”。
问题1：如何度量一个长方形的面积？

这个问题的目的是唤醒儿童脑海中的已有经验，不是回忆“公式”，而是思考度量之“本质”——（1）基准；（2）几何变换；（3）不同基准之间的换算。
问题2：怎样将一个长方形分割成两个三角形？有何发现？

基于已有经验的自主探索：
由长方形面积公式得到任意直角三角形的面积公式：任意直角三角形的面积等于对应长方形面积的一半，即两条直角边乘积的一半。此时儿童的面积工具箱更新为长（正）方形、任意直角三角形的面积公式。
问题3：任意一个非直角三角形总是可以分割成两个直角三角形吗？这种分割变换，对于解决平面图形的面积问题有何帮助？

儿童依然可以基于已有经验的自主探索，任意三角形和对应的2个直角三角形之间的关系，进而得到任意三角形的面积公式。儿童的面积工具箱此时为：长方形、任意三角形的面积公式。
问题4：如何度量任意一个平行四边形的面积？

任意一个平行四边形沿着对角线切割可以得到两个一样大小的三角形；

沿着高线切割可以两个一样大小的直角三角形和长方形；
儿童基于已有经验的自主探索平行四边形的面积公式。
此时儿童的面积工具箱变成长方形、任意三角形、任意平行四边形的面积。
问题5：如何度量任意一个梯形的面积呢？

任意梯形沿着对角线可以切割成两个等高三角形；

沿着一条腰的平行线切割得到等高的平行四边形和三角形；

沿着高线切割可以得到等高的两个直角三角形和1个长方形；
儿童基于已有经验的自主探索梯形的面积公式；此时儿童的面积工具箱更新为长方形、任意三角形、任意平行四边形、任意梯形的面积。
问题6：面积公式之间有何联系？

当梯形的上底不断地压缩变成一个点时，上底变成0，图形变成了三角形，此时（上底+下底）×高÷2=下底×高÷2，梯形和三角形面积公式之间就建立了联系；

当梯形的上底不断地拉伸至和下底一样的长度，上底=下底，梯形就变成了平行四边形（长方形），此时（上底+下底）×高÷2=下底×高，梯形和平行四边形（长方形）面积公式之间也建立了联系；
对于教师来说，可能遭遇的问题是什么？
（1）教师：如何确定儿童的“认知冲突”？儿童的挑战单，要么“非常完美”，要么“一片空白”！
（2）学生：已有经验差异巨大——不仅是起点处，而是过程中！怎么办？
可以通过：
（1）提前补：弥补起点处的经验差异；
(2)四合一的教学策略：课前独立探索+小组合作学习+课堂对话+小论文写作（聚焦核心观念的建构历程），把差异变为最有效的资源！

学生课后进行的论文创作：
丹洋——多边形面积

同样在小学总复阶段，我们依然可以摆脱原地踏步的机械训练。

在六年级进行总复习时，教师引导学生打破常规，首先进行思维脑图制作：

然后以论文创作的方式进行核心观念的建构式梳理：
建构式论文创作

更令人震撼的时，有些孩子创造的论文竟然超过万字！
“思维游戏”有何特点？
Ø 儿童的“已有经验”是思维游戏的“起点”；
Ø 课前挑战单是思维游戏的“支架”；
Ø “认知冲突”是思维游戏的助推器；
Ø 对话是思维游戏的“交互性游戏场”；
Ø 儿童是真正的“游戏者”，无人可以替代！
Ø 游戏的过程，就是创造数学、发明数学的过程！
Ø 教师在哪里？——无处不在——不是聚光灯下的“焦点”，而是成人之美、美美与共！
“思维游戏”是否具有普遍性？
Ø 偶尔为之，调剂品，或者改革的“装饰品”？
Ø 与内容高相关，有些可以游戏，有些则反之？
Ø 如何让“普遍性”有效落地？
要想解决这些问题，就要一以贯之“K-12数学教育发生学模型”
（三）
“玩游戏.学数学”的本质：
K-12数学教育发生学
新教育 K-12 课程设计原理力图实现“哥白尼式的转向”，即从“知识中心”转向“儿童中心”，所以，所有课程设计均以儿童 “已有经验” 为起点，以儿童 “经验生长” 为焦点，以儿童新经验的迁移应用为旨归。

在不同环节，教师会遭遇到不同的问题。
在起点处：如果儿童的经验还处于沉睡之中，怎么办？如果儿童极度缺乏相关经验，怎么办？如果儿童缺乏兴趣、动机不足怎么办？……
在焦点处：儿童的认知冲突何以显现？深度对话何以可能？“生长”之动力何在？……
在旨归处：意义如何在新情境中再次显现？意义显现之动力机制何在？如何避免被外在目标所裹挟，甚至异化？……

我们的策略是：
在起点处，若儿童已有经验缺乏，则丰富之，若处于沉睡之中，则唤醒之；
在焦点处，聚焦儿童“经验生长”要以儿童的典型问题推动课堂对话，协助儿童从旧经验生长成新经验；
在旨归处，迁移应用的过程，让新经验与生活生命贯通，引导儿童永远朝向未来的可能性而生长。
这也就是英国哲学家怀特海所说的儿童心智发展的节奏，即“浪漫——精确——综合”之循环；教育，不应该让儿童被动适应知识更新换代的速度，而应该让知识适应儿童心智发展的节奏。所以，我们依据儿童心智发展的节奏构建了纵向教育发生学模型（模型1：新教育K-12分学段三维目标；模型2：新教育K-12分学段“金字塔”）和横向教育发生学模型（模型3：大单元教学整体设计发生学模型；模型4：课堂对话发生学模型）。
模型 1：新教育 K-12 六学段三维目标模型。

我们先要确定儿童18岁毕业离校时应该达成的目标，然后按“以终为始”的理念倒推，确定15岁、12岁、6岁等各个学段的阶梯式目标。

K-12数与代数“发生学”——从低段的具体感知动作游戏到高段的抽象思维游戏。

K-7数与代数“发生学”：

小学阶段从自然数的诞生、比大小、四则运算开始，逐步延伸至小数和分数的诞生、比大小与四则运算；随后进入有理数和代数式领域，我们依然聚焦它们的诞生、比大小、四则运算，仍至后续数系扩充到负数，乃至实数、复数，我们依然聚焦这些核心问题。儿童的整个认知发生的过程，实现了从“一个一个的研究问题”到“一类一类的研究问题”的跨越，也完成从“算术”到“代数”的思维转型。
K-9数与代数“发生学”：

儿童相继研究三个一次（一次函数、一元一次方程、一元一次不等式）和三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式），从“静态研究”逐步过渡到“动态研究”。

到了高中，K-12数与代数“发生学”将聚焦幂指对及其对应函数、方程和不等式；三角函数及其对应函数、方程和不等式。基本初等函数：从简单到复杂，后续延伸到导函数的诞生、性质和应用，深入到从“变化”到“变化率”；从“函数”到“函数的函数”。

结合K-12数与代数“发生学”课程树，可以完美呈现“数与代数”观念从种子到大树的生长过程。
K-12图形与几何“发生学”——从低段的具体感知动作游戏到高段的抽象思维游戏。
儿童的几何观念从一维度量开启，聚焦度量的本质(确定度量基准、几何变换沟通被测物与度量基准间的关系、不同度量基准之间的换算)，到二维度量、三维度量，聚焦的核心依然围绕着 “基准”“几何变换”“基准换算” 展开，小学阶段聚焦物理性度量几何。

随着几何观念的生长，到初中转变为欧式平面几何，从度量本质转向公理化（原初自明性）、想象力（几何变换）和推理证明（逻辑自明性）。
到高中，几何观念从欧式平面几何转向欧式立体几何，依然聚焦公理化（原初自明性）、想象力（几何变换）和推理证明（逻辑自明性），儿童的几何观念实现物理性度量几何到公理化欧式几何的认知生长与思维跃迁。

高中的解析几何学习聚焦三大核心维度——“公理化”、“数-形”、“代数解-几何解”，儿童将掌握解析法即用“代数方法”解决“几何问题”。
进入后续空间向量的学习，核心聚焦维度为“公理化（坐标化）”“平面-空间”“向量解——几何解”，儿童将用“向量方法”解决“几何问题”。

从K-12图形与几何“发生学”课程树，可以完美呈现“图形与几何”观念生长变化过程。
纵观这棵K-12数形结合“发生学”课程树，我们能清晰看到学生的数学思维从 “混沌本能”历经学前的动作表象、动作类/ 序，小学的动作测量、动作运算，初中的推理证明（平面）、三个一次二次（三位一体），高中的推理证明（立体）、幂指对三角函数（三位一体）、推理计算（解析），最终迈向 “理性创造”的生长变化过程。
每一个核心数学观念，都可以在内外交互的过程中，从种子到大树，如其所是地生长！
数学教育之目的：促进儿童数学观念的生长，而不是灌输或单纯理解抽象客观的知识体系！
模型2：新教育K-12数学课程金字塔
基本程序就是“浪漫—精确—综合—……”，浪漫阶段是整体浪漫感知本章内容；精确阶段通过课堂对话，在解决认知冲突的过程中建构生成新观念；综合阶段运用新观念解决实际问题或通过论文、演讲等方式交流分享。

小学低段数学课程金字塔

小学中段数学课程金字塔

小学高段数学课程金字塔

初中数学课程金字塔

高中数学课程金字塔

关于“金字塔”的说明——不是将客观数学知识分为“浪漫、精确、综合”三种类型；也不是依据某个外在标准或个人经验将教学过程分为“三个阶段”；而是儿童心智发展节奏的“外化”，其核心永远指向儿童的认知发展！
模型3：新教育K-12单元教学整体设计发生学模型

单元教学整体设计发生学模型从内圈依次为核心素养和大观念；核心观念-核心技能-人格发展；围绕核心素养、大观念、三维目标的表现型评估系统；为创造数学、发明数学进行的教学设计。
其中核心素养是以已有数学经验“观”世界的能力和意识；大观念具有跨单元、跨学段、可持续生长特征。
核心观念：贯穿单元学习过程之始终
核心技能：建构生成与迁移运用核心观念时需要用到的技能；
人格发展：向内自我超越，向外成人之美。
举个例子，如十二年级《一元函数的导数》单元三维目标——

单元评估指向三维目标，既要有过程性与生成性评估，让学习过程“可视化”，也要促进个体价值与社会价值的融会贯通。
如：五年级《小数除法》单元表现型评估系统——

最后教学设计要基于儿童，发展儿童；促进核心观念的建构生成；促进数学经验的改进与生长；为“创造数学、发明数学”而设计。
单元教学整体设计：五大核心问题。
1.儿童脑海中的已有观念具有怎样的发展水平？（章前评估）
2.与儿童脑海中的已有观念对应的日常概念具有怎样的特征？
3.儿童脑海中的已有观念可能会产生怎样的认知冲突？
4.如何协助儿童解决这些认知冲突？
5.认知冲突解决以后，儿童建构生成的新观念对后续学习生活将会产生怎样的影响?
前2个问题目的是了解儿童已有观念的发展水平，以及潜在的可能性发展水平；第3个问题基于章前评估，预判儿童可能遭遇怎样的认知冲突；第4个问题通过设计科学合理的“教学过程”，协助儿童有效解决认知冲突；第5个问题聚焦当下观念的建构对儿童未来学习生活的影响。
模型4：新教育K-12课堂对话发生学模型。

课堂对话发生学模型包括了五个环节：
(1)运用临床法诊断儿童原有的认知发展水平（A）——儿童的学习应当以他们头脑中已有的认知发展水平为前提和基础；
(2)教师基于评估确定教学目标（C），并调整课前挑战题；
(3)通过儿童独立完成的课前挑战题（B）,教师评估并整理典型认知冲突（C-B）；
(4)围绕典型认知冲突，展开课堂对话，建构生成新观念;
(5)迁移应用新观念，评估并开启认知新旅程；
若结果不符合预期，则需重新评估儿童已有认知发展水平；若符合，则开启新一轮的认知循环。
课堂对话的节奏：浪漫-精确-综合。

首先在 “浪漫” 阶段，通过课前独立挑战，唤醒儿童已有经验，形成整体浪漫感知，激发认知冲突；接着在 “精确” 阶段开展课堂深度对话，聚焦典型问题，调整或超越旧观念，建构生成新观念；最后在 “综合” 阶段实现迁移应用新经验，将新观念与生活生命贯通，让意义在新情境中涌现，推动儿童从兴趣到志趣的自我驱动，完成认知与素养的螺旋式成长。
从种子到大树，谁可以活泼泼地生长呢？
首先，意指学习者在内外交互的过程中，创造数学、发明数学，让每一个数学观念都能活泼泼地生长！其次，每一个生命都可以在“教师-知识-儿童”三位一体的教育场域中，从种子到大树，活泼泼地生长！
“玩游戏.学数学”的“游戏”设计，是否具有普遍性？
目前，我们基于四个“数学发生学模型”，已经完成人教版K-12每一个单元、每一课时的“游戏设计”；其中，低段倾向于“动作游戏”，高段逐步过渡到“思维游戏”。
与此同时，我们要提高对“模型”的警惕——
（1） 四个模型仅仅是“玩游戏.学数学”的下限，而不是绝对真理；
（2） 老师和孩子们的创造力和想象力决定了“玩游戏.学数学”的上限；
（3） 模型是“助手”，而不是镣铐和枷锁！
目前，我们已经正式出版《玩游戏.学数学》系列丛书中：

《玩游戏.学数学》分年级的系列丛书已正式出版16册（K-7）

《儿童与课程：数学教育新论》已正式出版；

《玩游戏.学数学》（师生合作的小学科普）正在出版中；

《玩游戏.学数学》初中与高中科普版正在写作中……

我们希望师生共同创建新教育K-12未来学习中心，将我们研发并有效实施的新教育K-12数学课程系统全部以视频方式上线；所有视频都符合“浪漫-精确-综合”认知发展的节奏与规律，充分体现“没有没有心理学的教育，也没有没有哲学的教育”。

我们的愿景：
让所有喜欢贞元新教育的孩子都可以随时随地在云端免费学习；
让所有喜欢贞元新教育的老师都可以随时随地在云端找到免费资源；
向世界“开源”，召唤志同道合者一起参与创造，以优质教育改良世界！
是的，创造新教育的新样态，免费赠予全世界！
AI时代，基础数学教育何去何从？
AI，如同一面镜子——
映照出我们的智慧，也照见我们的局限。
它提醒我们停下脚步，
去“照见”何为人。
在可以预见的未来，
AI解方程的速度必将越来越快；
然而，它却解不了——
那道关于“生命为何存在”的方程。
所以，数学教育的未来，
不在让孩子算得更快、更准，
而在——
让数学，重新成为精神的游戏场；
让教育，重新成为灵魂的发生学。
让我们携手，
在AI的浪潮中守住教育的初心——
因为，唯有懂得思考与爱的人，
才能真正解出“存在”的方程。

课程咨询电话：18149373379（元学园 刘老师）13343780373（小初高 小小老师）

作者｜江子校长
整理、编辑｜吴延鸽